Pengukuran Nilai Rata-Rata dan Kelompok Data pada Statistika

Pengukuran Nilai Rata-Rata dan Kelompok Data pada Statistika - Nilai rata-rata umumnya cenderung terletak ditengah dalam suatu kelompok data yang disusun menurut besar kecilnya nilai. Jadi keseluruhan nilai yang ada dalam data diurutkan besarnya dan selanjutnya nilai rata-rata dimasukan kedalamnya.

Nilai tunggal yang mewakili (representatif) bagi seluruh nilai dalam data dianggap sebagai rata-rata (averages).

Nilai rata-rata umumnya cenderung terletak ditengah dalam suatu kelompok data yang disusun menurut besar kecilnya nilai. Jadi keseluruhan nilai yang ada dalam data diurutkan besarnya dan selanjutnya nilai rata-rata dimasukan kedalamnya, maka nilai rata-rata tersebut mempunyai tendensi (kecenderungan) terletak diurutan paling tengah atau pusat.

Maka nilai rata-rata sering disebut sebagai ukuran kecenderungan memusat (measures of central tendency).

image source: cmup.fc.up.pt

baca juga: Pengertian Statistik (Deskriptif) dan Contoh Rumus Menurut Ahli

Beberapa jenis rata-rata yang sering digunakan :

1. Rata-rata hitung (Mean) : X
2. Median : Md
3. Modus : Mod
4. Rata-rata Ukur (geometric mean) : Gm.
5. Rata-rata Harmonis : Rh.

1. Rata-Rata Hitung

Rata-rata hitung (mean) : merupakan jumlah nilai seluruh data dibagi dengan jumlah data.
Mean populasi diberi simbol m (miyu)
Mean sampel diberi simbol x (eks bar)

i = nomor data, dengan nilai 1 sampai n
x = merupakan nilai data
n = jumlah data (sample size)

Contoh :
Perusahaan pembuat lampu pijar PT. Jelas Terang pada tahun 2004 telah berhasil memproduksi lampu sebanyak 50.000 buah. Untuk memperoleh informasi teknis tentang umur rata-rata bola lampu pijak tersebut, maka diambil sampel sebanyak 5 buah bola lampu untuk ditest. Dari 5 buah lampu tersebut, didapatkan umur masing-masing bola lampu : 967, 949, 940, 952 dan 922 jam.

Maka umur rata-rata bola lampu (dari sampel) adalah :

Jika sampel tersebut dianggap dapat mewakili populasi maka umur rata-rata bola lampu (untuk 50.000 buah) diduga mendekati 946 jam. atau m = 946 jam

Apabila data disajikan dalam bentuk tabel frekwensi, dimana X1 mempunyai frekwensi f1 kali, X2 mempunyai frekwensi f2 kali dan seterusnya hingga Xn mempunyai frekwensi fn kali, maka rumus rata-ratanya :

X = Mean
åⁿ = Penjumlahan dari i = 1 s/d n.
i=1
f = frekwensi (keseringan terjadi)
x = nilai data
i = macam nilai data

Contoh : Didapatkan data sebagai berikut : 6, 6, 6, 6, 8, 8, 8, 10, 10, 10, 10, 10,10.

Untuk beberapa kumpulan data yang masing-masing kumpulan data telah diketahui nilai rata-rata dan jumlah datanya, maka “mean” dari seluruh kumpulan data dapat dicari langsung dengan cara :

n₁ . X₁ + n₂ . X₂ + .. + n_k X_k
X =
n₁ + n₂ + . . + n_k
X = Mean
k = Jumlah kelompok data
ni = jumlah data pada kelompok ke i
Xi = mean kelompok ke i

Contoh : Berikut ini disajikan data tentang harga beras rata-rata pada 5 kelompok pasar di propinsi X seperti pada tabel berikut ini :

Tabel 1. Harga beras rata-rata pada 5 kelompok pasar di propinsi X pada bulan Desember 1990.

Kelompok Pasar	Jumlah Pasar	Harga Beras Rata-rata (Rp.
A B C D E	15 10 8 24 20	320 300 290 310 295

RATA-RATA HITUNG GROUPED DATA

Grouped data atau data yang telah dikelompokan ialah data yang telah mengalami penyederhanaan dalam bentuk distribusi frekwensi.

X = rata-rata hitung (mean)
m = titik tengah interval kelas (class mark)
f = frekwensi
i = nomor kelas dari 1 s/d k
å = notasi penjumlahan

Contoh

Tabel. Perhitungan Rata-rata hitung data yang dikelompokan

Hasil Ujian Statistik	mi	fi	mi . fi
20 – 29 30 – 39 40 – 49 50 – 59 60 – 69 70 – 79 80 – 89	24,5 34,5 44,5 54,5 64,5 74,5 84,5	4 7 8 12 9 8 2	98 241,5 356 654 580,5 596 169
Jumlah		50	2695

Metode Short Cut

Pada dasarnya menghitung rata-rata hitung dengan metode short cut adalah merubah skala titik tengah (class mark) suatu kelas dengan sebuah skala baru yaitu skala U yang bernilai kecil dan bulat = 0, ± 1, ± 2, ± 3 dan selanjutnya skala U ini juga disebut penyeimbangan nomer interval kelas.

Langkah-langkah pengunaan metode short cut.

1. Menentukan letak pusat skala U (skala U = 0)

Pusat skala U (U=0) diletakan pada titik tengah (class mark) dari kelas yang memiliki frekwensi yang terbesar, atau kadang-kadang diletakan pada class mark dari kelas yang memiliki urutan tengah.

2. Mengganti masing-masing class mark atau titik tengah dengan skala u. Untuk data yang telah disajikan dalam tabel, maka titik tengah yang berada diatas kelas dengan skala U = 0 diganti dengan –1 dan selanjutnya titik tengah diatasnya lagi diganti dengan –2 demikian seterusnya. Titik tengah dibawahnya berturut-turut diganti dengan 1,2,3 dan seterusnya.

3. Menghitung titik tengah suatu kelas yang dianggap sebagai nilai rata-rata (Xo). Nilai rata-rata ini (Xo) letaknya sebaris dengan skala U = 0.

4. Menghitung faktor koreksi yang akan membuat rata-rata yang diasumsikan (dianggap) menjadi sama dengan rata-rata yang diperoleh dari metode langsung.

Rumus perhitungan rata-rata hitung dengan Metode Short Cut adalah :

Xo = rata-rata hitung yang diasumsikan
Ui = nilai skala U kelas i
fi = frekwensi kelas i
i = internval kelas
∑ = notasi penjumlahan

Tabel. Perhitungan rata-rata hitung dengan Metode Short Cut

Nomor Kelas	Interval Kelas	Titik Tengah	Frekwensi (fi)	Skala U (Ui)	Ui . fi
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.	20 – 29 30 – 39 40 – 49 50 – 59 60 – 69 70 – 79 80 – 89	54,5	4 7 8 12 9 8 2	-3 -2 -1 0 1 2 3	-12 -14 -8 0 9 16 6
			50		-3

2. MEDIAN (Md)

Median adalah suatu ukuran pemusatan yang menempati posisi tengah jika data diurutkan menurut besarnya. Median ini merupakan rata-rata ditinjau dari segi kedudukannya dalam urutan data (positional avarage).

1. Data yang tidak dikelompokan

Jika jumlah data tidak merupakan kelipatan 2.

Maka nilai median adalah sama dengan nilai data yang memiliki urutan tengah atau data yang bernomor urut k
n + 1
k =
2
n = jumlah data
k = nomor urut data

Contoh :
Didapat kumpulan data sebagai berikut :

6, 17, 13, 3, 10, 7, 9

Maka mediannya dapat dicari sebagai berikut :

3, 6, 7, 9 , 10, 13, 17

k selanjutnya dapat dicari sebagai berikut :

Jadi nilai mediannya sama dengan nilai data yang memiliki urutan data yang ke – 4, y.i = 9

• Jika jumlah data merupakan kelipatan 2

Maka k merupakan bilangan rasional pecahan, yang didapat dari rumus:

Sedangkan nilai mediannya merupakan rata-rata nilai data yang bernomor urut paling dekat dengan k. Rumus mediannya adalah :

n_a & n_b adalah nilai suku yang dekat dengan k.

Contoh :

Didapatkan kumpulan data sebagai berikut :

4, 8, 7, 15, 12, 13.

Maka mediannya dapat dicari sebagai berikut :


4, 7, 8, 12, 13, 15

data tersebut n –nya = 6 (kelipatan 2)

Data yang paling dekat dengan k adalah :

Data ke – 3 ke ke – 4 dan berturut-turut memiliki nilai 8 dan 12.

2. Data yang dikelompokan (Grouped Data)

Median Grouped data merupakan sebuah nilai yang membagi seluruh luas histogram frekwensi menjadi dua bagian yang sama besar.
Perhitungan Media data yang telah dikelompokan.

1. Menentukan letak median pada suatu kelas.

Kelas median terletak pada kelas yang pertama kali mempunyai frekwensi kumulatif dari atas sama dengan atau melebihi n/2.

2. Mencari nilai median (Md) dengan rumus :

Md = T_B + (n/2) – F x i
                     F_m

T_B = tepi kelas bawah dari kelas yang memuat median
n = jumlah frekwensi/banyaknya observasi
F = Frekwensi kumulatif “dari atas” pada klas sebelum klas median.
F_m = Frekwensi klas median
i = Interval klas median

Tabel. Perhitungan Median Grouped Data

Hasil Ujian	Banyaknya Mahasiswa	Frekwensi kumulatif kurang dari
20 – 29 30 – 39 40 – 49 50 – 59 60 – 69 70 – 79 80 – 89	4 7 8 12 9 8 2	4 11 19 31 40 48 50
	50

Md = 49,5 + 50/2) – 19 x 10 = 54,5
                              12

Perhitungan median dapat juga didasarkan pada tepi kelas atas (upper class boundary) dengan rumus :

Md = T_A – n/2 – F x i
                         F_m

T_A = tepi kelas atas (upper class boundary)
n = jumlah frekwensi/banyaknya observasi
Fm = frekwensi kumulatif kurang dari pada klas sebelum klas
median
i = interval kela

Md = 59,5 – (50/2) – 19 x 10
                           12
       = 59,5 – 5 = 54,5

3. MODUS (Mod)

Modus atau mode adalah nilai dari observasi atau pengamatan yang memiliki frekwensi tertinggi.
Nilai observasi yang memiliki 2 modus disebut Bimodal, dan lebih dari 2 disebut “Multi Modal”.

1. Modus data yang tidak dikelompokan.

Diketahui sekumpulan data sebagai berikut :


3, 5, 8, 2, 9, 10, 10, 9, 9, 11, 12, 18, 18, 9.

Penyelesaian : dibuat tabel frekwensi

Penyelesaian : dibuat tabel frekwensi

X	Y
Mod : 9 3 5 8 9 10 11 12 18	2 1 1 4 2 1 1 2

2. Data yang dikelompokan

T_B = tepi kelas bawah dari kelas modus
i = interval kelas
S1 = Selisih frekwensi kelas modus dengan frekwensi klas sebelumnya.
S2 = Selisih frekwensi kelas modus dengan frekwensi klas sesudahnya.

Tabel. Distribusi frekwensi hasil ujian

Hasil Ujian	Jumlah Mahasiswa
20 – 29 30 – 39 40 – 49 50 – 59 60 – 69 70 – 79 80 – 89	4 7 8 12 9 8 2

Perhitungan modus dapat juga didasarkan pada tepi klas atas (T_A) dengan rumus sebagai berikut :

T_A = tepi kelas atas

Perbandingan antara rata-rata hitung, Median & Modus

1. Jika distribusi frekwensi mempunyai kurva yang simetris sempurna, maka letak rata-rata hitung (X), median (Med) dan modus (Mod) adalah sama.

2. Jika distribusi frekwensi mempunyai kurva menceng kekanan, maka nilai rata-rata hitung (X) paling besar, diikuti dengan median (Md), kemudian modus (Mod)
3. Apabila distribusi frekwensi kurvanya menceng kekiri maka nilai rata-rata (X) paling kecil, diikuti median (Md), kemudian modus (Mod)

4. Rata-Rata Ukur (Gm) 

Dalam bidang bisnis dan ekonomi seringkali diperlukan informasi tentang tingkat perubahan (rate of change) atau pengrata-rataan rasio.

Misalnya rata-rata persentase tingkat perubahan hasil penjualan, produksi, harga, pendapatan nasional selama 10 tahun yang lalu.

Cara menghitung rata-rata ukur secara sederhana dari serangkaian nilai observasi X1, X2, ..., Xn dirumuskan sebagai berikut :

Rata-rata ukur suatu kelompok nilai X1, X2, X3 . ., Xn merupakan akar pangkat n dari hasil kali masing-masing nilai dari kelompok tersebut.

Untuk mencari rata-rata ukur dapat juga digunakan rumus :

atau

Diketahui serangkaian nilai observasi sebagai berikut :
10, 8, 12, 15

Berapa rata-rata hitungnya ?

atau dapat dihitung dengan jalan sebagai berikut :

Hubungan antara Rata-rata Ukur dan Bunga Majemuk
Rumus bunga majemuk (Compound Interest) :

Pn = P₀ (1 + r)ⁿ

P₀ = Jumlah uang permulaan
r = tingkat bunga (rate of interest)
n = banyaknya waktu
Pn= jumlah akumulasi pada akhir tahun ke – n (end of n period)

Jika tingkat bunga berubah dari waktu ke waktu yaitu, r₁, r₂, ..,r_n, maka jumlah akumulasi uang pada akhir tahun ke – n :

Pn = P₀ (1 + r₁) (1 + r₂) ... (1 + r_n)

Hubungan antara Gm dengan bunga majemuk dapat diuraikan sebagai berikut :

Pn = P₀ (1 + r)ⁿ
Pn = P₀ (1 + r₁) (1 + r₂) .. (1 + r_n)
P₀ = (1 + r)ⁿ = P₀ (1+r₁) (1 + r₂) .. (1 + r_n)
(1 + r)ⁿ = (1+r₁) (1 + r₂) .. (1 + r_n)

Jika diambil akar dengan pangkat n, maka

Jadi (1 + r ) = merupakan rata-rata ukur dari (1+r₁) (1 + r₂) .. (1 + r_n)

Jika jumlah uang pada permulaan tahun P₀ = 100.000,- dan dibungakan dengan tingkat bunga r = 3% maka jumlah uang pada akhir tahun pertama

Jadi nilai-nilai (1+r₁) (1 + r₂) .. (1 + r_n) menunjukan hubungan relatif antara nilai P dengan nilai P sebelumnya.

P₁ (103.000) adalah 3% > P₀ (100.000)

Angka (1 + r) merupakan rata-rata relatif (average relative), dan angka r merupakan rata-rata persentase tingkat perubahan per periode waktu.

Untuk menghitung r dapat digunakan rumus

Contoh :
Diketahui tingkat produksi barang A mempunyai kenaikan sebesar 25% dari tahun pertama ke tahun kedua, selanjutnya 40% dari tahun kedua ke tahun ketiga. Produksi mula-mula = 100 ton.

Hitung rata-rata tingkat kenaikan (average rate of increase) selama 2 tahun tersebut.

Pn = P₀ (1 + r₁) (1 + r₂) .. (1 + r_n)
P₂ = P₀ (1 + r₁) (1 + r₂)
P₂ = 100 (1 + 0,25) (1 + 0,4)
= 125 (1,4) = 175
P₀ = 100

atau

Jadi rata-rata tingkat kenaikan r = 32,3%.

Jadi dapat disimpulkan, bahwa rata-rata tingkat perubahan sebesar r diperoleh dengan menggunakan rumus rata-rata ukur, yang merupakan tingkat bunga didalam rumus bunga majemuk (compound interest).

Contoh :
Pendapatan Nasional (National Income) suatu negara pada tahun 1988 sebesar 400 milyar dan tahun 1992 menjadi 600 milyar selama 4 tahun berapa besarnya rata-rata tingkat pertumbuhan ?

Jadi rata-rata tingkat pertumbuhan pendapatan nasional selama 4 tahun = 0,107 = 10,7%

Rata-rata ukur data yang dikelompokan

Apabila sebuah distribusi frekwensi mempunyai nilai-nilai titik tengah (class mark) m₁, m₂, . ., m_k dengan frekwensi masing-masing f₁, f₂, . ., f_k, maka rata-rata ukurnya dapat dicari dengan rumus :

Tabel. Cara menghitung rata-rata ukur dari hasil ujian statistik 50 mhs FE.UI. Th. 1986.

Hasil Ujian	mi	fi	log mi	log mi fi	mifi
20 – 29 30 – 39 40 – 49 50 – 59 60 – 69 70 – 79 80 – 89	24,5 34,5 44,5 54,5 64,5 74,5 84,5	4 7 8 12 9 8 2	1,38917 1,53782 1,64836 1,73639 1,80956 1,87216 1,92686	5,55668 10,76474 13,18688 20,83668 16,28604 14,97728 3,85372	98 241,5 356 654 580,5 596 169
		50		85,46202	2695

Rata-rata ukur hasil ujian 50 mhs FE.UI. Th.1986 adalah 51,1965. Bila kita hitung rata-rata ( X ) data diatas, maka akan diperoleh hasil :

Hasil pengukuran dengan rata-rata hitung (mean) seharusnya lebih besar dari pada hasil pengukuran rata-rata ukur.

Rata-rata harmonis (R_h)

Rata-rata harmonis dari n angka, X1, X2, . . , Xn adalah nilai yang diperoleh dengan jalan membagi n dengan jumlah kebalikan dari masing-masing X tersebut.

Rata-rata harmonis dari angka-angka : 1, 3, 9 adalah

Untuk data yang disusun dalam daftar distribusi frekwensi maka rumusnya :
Rata-rata ukur (Gm) khususnya berguna dalam penghitungan tingkat pertumbuhan, kalau harmonis mean (rata-rata harmonis) digunakan dalam menghitung rata-rata tingkat kecepatan.

Sekian artikel tentang Pengukuran Nilai Rata-Rata dan Kelompok Data pada Statistika. Semoga bermanfaat.

Daftar Pustaka

1. Harinaldi, Prinsip-prinsip statistic untuk sain dan teknik , Erlangga, 2005
2. J Supranto, Statistik teori dan aplikasi, Erlangga, 2000
3. Murray S. Spigel, Probablilitas dan statistic, Erlangga, 2004