Hukum dan Pembuktian Himpunan dalam Logika Matematika

Hukum dan Pembuktian Himpunan dalam Logika Matematika - Hukum pada himpunan adalah sifat-sifat (properties) himpunan. Dua konsep yang berbeda dapat saling dipertukarkan namun tetap memberikan jawaban yang benar. Prinsip ini merupakan prinsip dualitas. Melalui artikel ini diharapkan mampu memahami dan dapat membuktikan pernyataan himpunan.
Hukum dan Pembuktian Himpunan

image source: www.basicknowledge101.com

baca juga: Pemodelan Data dalam rekayasa perangkat lunak 

1. Hukum pada himpunan.

Hukum pada himpunan adalah  sifat-sifat (properties) himpunan. Hukum himpunan sering disebut sebagai hukum aljabar himpunan. Berikut adalah hukum aljabar pada himpunan.

Hukum identitas : A = A AU = A	Hukum null / dominasi: A = AU = U
Hukum komplemen: A = U A =	Hukum idempoten: AA = A AA = A
Hukum involusi: = A	Hukum penyerapan (absorpsi): A (A B) = A A (A B) = A
Hukum komutatif: A B = B A A B = B A	Hukum asosiatif: A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) C
Hukum distributif: A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C)	Hukum De Morgan:  =  =
Hukum 0/1  = U  = Æ

1. Prinsip dualitas.

Prinsip Dualitas dikatakan berlaku pada saat dua konsep yang berbeda dapat saling dipertukarkan namun tetap memberikan jawaban yang benar.

Contoh: Di Amerika  kemudi mobil di kiri depan, Inggris (juga Indonesia)  kemudi mobil di kanan depan.

Peraturan:
(a) di Amerika Serikat,

• mobil harus berjalan di bagian kanan jalan,
• pada jalan yang berlajur banyak, lajur kiri untuk mendahului,
• bila lampu merah menyala, mobil belok kanan boleh langsung

(b) di Inggris,

• mobil harus berjalan di bagian kiri jalan,
• pada jalur yang berlajur banyak, lajur kanan untuk mendahului,
• bila lampu merah menyala, mobil belok kiri boleh langsung

Prinsip dualitas:
Konsep kiri dan kanan dapat dipertukarkan pada kedua negara tersebut sehingga peraturan yang berlaku di Amerika Serikat menjadi berlaku pula di Inggris
(Prinsip Dualitas pada Himpunan). Misalkan S adalah suatu kesamaan (identity) yang melibatkan himpunan dan operasi-operasi seperti , dan  komplemen. Jika S* diperoleh dari S dengan mengganti .

• ® ,
• ® ,
• ® U,
• U ® ,

sedangkan komplemen dibiarkan seperti semula, maka kesamaan S* juga benar dan disebut dual dari kesamaan S.

Hukum identitas: A = A	Dualnya: A U  = A
Hukum null / dominasi: A =	Dualnya: A U = U
Hukum komplemen: A = U	Dualnya: A =
Hukum idempoten: A A = A	Dualnya: A A = A
Hukum penyerapan:     A (A B) = A	Dualnya:        A (A B) = A
Hukum komutatif:     A B = B A	Dualnya:        A B = B A
Hukum asosiatif: A (B C) = (A B) C	Dualnya:  A (B C) = (A B) C
Hukum distributif: A (B C)=(A B) (A C)	Dualnya:  A (B C) = (A B) (A C)
Hukum De Morgan:  =	Dualnya:  =
Hukum 0/1 = U	Dualnya:  = Æ

1. Pembuktian Pernyataan Himpunan.

• Pernyataan himpunan adalah argumen yang menggunakan notasi himpunan.
• Pernyataan dapat berupa:

1. Kesamaan (identity)

Contoh : Buktikan “AÇ (BÈC) = (AÇB) È (AÇC)”

1. Implikasi

Contoh: Buktikanbahwa “Jika A Ç B = Ædan A Í (B È C) maka selalu berlaku bahwa  A Í C”.

1. Pembuktian dengan menggunakan diagram Venn

Misalkan A, B, dan C adalah himpunan.
BuktikanAÇ (BÈC) = (AÇB) È (AÇC) dengan diagram Venn.
Bukti:
AÇ (BÈC)                          (AÇB) È (AÇC)      
Kedua digaram Venn memberikan area arsiran yang sama.
Terbukti bahwa AÇ (BÈC) = (AÇB) È (AÇC).        

• Diagram Venn hanya dapat digunakan jika himpunan yang digambarkan tidak banyak jumlahnya.
• Metode ini mengilustrasikan ketimbang membuktikan fakta. Diagram Venn tidak dianggap sebagai metode yang valid untuk pembuktian secara formal. 

1. Pembuktian dengan menggunakan table keanggotaan

Misalkan A, B, dan C adalah himpunan.
Buktikan bahwa A Ç (BÈC) = (AÇB) È (AÇC).
Bukti:

A	B	C	BÈC	AÇ (BÈC)	AÇB	AÇC	(AÇB) È (AÇC)
0	0	0	0	0	0	0	0
0	0	1	1	0	0	0	0
0	1	0	1	0	0	0	0
0	1	1	1	0	0	0	0
1	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	1	1	0	1	1
1	1	0	1	1	1	0	1
1	1	1	1	1	1	1	1

Karena kolom AÇ (BÈC) dan kolom (AÇB) È (AÇC) sama, makaA Ç (BÈC) = (AÇB) È (AÇC).

1. Pembuktian dengan menggunakan aljabar himpunan.

Misalkan A dan B himpunan. Buktikan bahwa (AÇB) È (AÇ ) = A
Bukti:
(AÇB) È (AÇ )  = AÇ (BÈ ) (Hukum distributif)
                             = AÇU             (Hukum komplemen)
                             = A                  (Hukum identitas)                              
Misalkan A dan B himpunan. Buktikan bahwa AÈ (B – A) = AÈB
Bukti:
     AÈ (B – A)  =AÈ (BÇ )                   (Definisi operasi selisih)
                        = (AÈB) Ç (AÈ )          (Hukum distributif)
                        = (AÈB) ÇU                     (Hukum komplemen)
                        = AÈB                              (Hukum identitas)                  
Buktikan bahwa untuk sembarang himpunan A dan B, bahwa
 (i)  AÈ ( ÇB) = AÈB dan
(ii)  AÇ ( ÈB) = AÇB
Bukti:
(i) AÈ ( ÇB)     = ( AÈ ) Ç (AÇB)    (Hukum distributif)
                             =  UÇ  (AÇB)              (Hukum komplemen)
                             =  AÈB                        (Hukum identitas)      
(ii) adalah dual dari (i)
AÇ ( ÈB)  = (AÇ ) È  (AÇB)            (Hukum distributif)
                                 = ÆÈ  (AÇB)                      (Hukum komplemen)
                                 =  AÇB                                (Hukum identitas)      

1. Pembuktian dengan menggunakan definisi

• Metode ini digunakan untuk membuktikan pernyataan himpunan yang tidak berbentuk kesamaan, tetapi pernyataan yang berbentuk implikasi. Biasanya di dalam implikasi tersebut terdapat notasi himpunan bagian (Í atau Ì).

Contoh. Misalkan A dan B himpunan. Jika AÇB = Æ dan AÍ (BÈC) maka buktikan bahwa AÍC.
Bukti:

• Dari definisi himpunan bagian, PÍQ jika dan hanya jika setiap xÎ P juga xÎQ. Misalkan xÎA. Karena A Í (BÈC), maka dari definisi himpunan bagian, x juga Î (BÈ C).

Dari definisi operasi gabungan (È), xÎ (BÈC) berarti xÎB atau xÎC.

• Karena xÎA dan AÇB = Æ, maka xÏB

Dari (i) dan (ii), xÎC harus benar. Karena"x ÎA juga berlaku xÎ C, maka dapat disimpulkan AÍ C .

Sekian artikel Modul Makalah tentang Hukum dan Pembuktian Himpunan dalam Logika Matematika. Semoga bermanf

Daftar Pustaka

1. Firrar Utdirartatmo, Teori Bahasa dan Otomata, Graha Ilmu, Yogyakarta, Edisi 2, 2005.
2. Jonhson, Ricard, Discrete Mathematics. Prentice Hall Int, New Jersey, 2001
3. Sri Kusumadewi, Hari Purnomo, Aplikasi Logika Fuzzy, Graha Ilmu, Yogyakarta, 2004.
4. Klin, George J dan Tina A. Folger, Fuzzy Sets, Uncertainty and Information, Prentice Hall Int, New Jersey, 1998.
5. Sumarna, Elektronika Digital, Graha Ilmu, Yogyakarta, 2006.